calculus.md

Calculus

Пределы

$$\lim_{x \to \infty} C = C$$ $$\lim_{x \to \infty} \frac{k}{x^m} = 0$$

Если

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = b,$$ $$\lim_{x \to \infty} g(x) = c,$$

то

$$\lim_{x \to \infty} (k f(x)) = kb$$ $$\lim_{x \to \infty} |f(x)| = |b|$$ $$\lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x)) = b + c$$ $$\lim_{x \to \infty} (f(x)g(x)) = bc$$ $$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{b}{c}$$

Производные

Формулы дифференцирования

$$(C)' = 0$$ $$(x^a)' = a x^{a-1}$$ $$(a^x)' = a^x ln a$$ $$(log_a x)' = \frac{1}{x ln a}$$ $$(sin x)' = cos x$$ $$(cos x)' = -sin x$$ $$(tg x)' = \frac{1}{cos^2 x}$$ $$(ctg x)' = -\frac{1}{sin^2 x}$$ $$(arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$ $$(arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$ $$(arctg x)' = \frac{1}{1 + x^2}$$ $$(arcctg x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$$

Правила дифференцирования

$$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$$ $$(k f(x))' = k f'(x)$$ $$(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$

Дифференцирование сложной функции

$$(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)$$

Для вычисления производной произведения нескольких функция или степени, в которой основание и показатель степени являются функциями:

$$(f(x))' = f(x)(ln f(x))'$$

Производная n-го порядка

$$f''(x) = f^{(2)}(x) = \frac{d^2 y}{d x^2}$$ $$f^{(n)}(x) = \frac{d^n y}{d x^n}$$

Уравнение касательной

$$y = f(a) + f'(a)(x - a)$$

Интегралы

Таблица интегралов

$$\int C dx = C x + C_1$$ $$\int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C, n \ne -1$$ $$\int \frac{dx}{x} = ln |x| + C$$ $$\int a^x dx = \frac{a^x}{ln a} + C$$ $$\int \frac{1}{a^x} dx = -\frac{1}{a^x ln a} + C$$ $$\int sin x dx = -cos x + C$$ $$\int cos x dx = sin x + C$$ $$\int \frac{dx}{cos^2 x} = tg x + C$$ $$\int \frac{dx}{sin^2 x} = -ctg x + C$$ $$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = arcsin \frac{x}{a} + C$$ $$\int \frac{dx}{\sqrt{k + x^2}} = ln |x + \sqrt{k + x^2}| + C$$ $$\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C$$ $$\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} ln \left| \frac{x - a}{x + a} \right| + C$$

Правила интегрирования

$$\int F'(x) dx = F(x) + C$$ $$\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$$ $$\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$$

Метод замены переменной

$$x = g(t)$$ $$dx = g'(t) dt$$

Метод интегрирования по частям

$$\int u dv = uv - \int v du$$

Определенный интеграл

$$\int_a^b f(x) dx = \left. F(x) \right|_a^b = F(b) - F(a)$$