SpaceSim

2D Симулятор движения космических тел, основанный на законе всемирного тяготения Ньютона.

Физический движок

Ускорение

По закону всемирного тяготения Ньютона, для каждого тела в системе вычисляются силы гравитационного взаимодействия, возникающие из-за всех других тел в системе.

$$F_{грав}=G\frac{{m_1 m_2}}{{r^2}}$$

Каждое тело притягивает другое тело с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними

Чтобы выразить силу, как векторную величину с двумя компонентами $F_x$ и $F_y$, необходимо разложить её на составляющие (спроецировать) по координатным осям. Для этого введем вектор расстояния между телами, который будет равен разнице двух векторов задающих положения тел на плоскости $\vec{a} = \vec{a_1}-\vec{a_2}$.

$$F_x=F_{грав} * \cos(\alpha)=F_{грав}*\frac{|\vec{a_x}|}{|\vec{a}|}$$

$$F_y=F_{грав} * \sin(\alpha)=F_{грав}*\frac{|\vec{a_y}|}{|\vec{a}|}$$

$F_x$ и $F_y$ представляют собой проекции вектора силы $\vec{F}$ на соответствующие оси и выражаются, как модуль силы умноженный на отношение длины проекции вектора расстояния $|\vec{a_{x}}|$ или $|\vec{a_{y}}|$ к расстоянию между телами $|\vec{a}|$.

Затем векторы сил складываются, для получения общей силы, действующей на тело.

$$\vec{F}_{\text{грав}}=\sum_{i=1}^{N}\vec{F}_{\text{грав}}^{i}$$

Ускорение объекта рассчитывается по второму закону Ньютона (закон механического движения).

$$\vec{a}=\frac{\vec{F_{общ}}}{m}$$

Ускорение прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки

Скорость

Гравитационная задача N тел при N>3 требует численных методов решения.

Полная механическая энергия системы

Чтобы рассчитать полную механическую энергию системы $E$, необходимо просуммировать кинетическую энергию каждого тела и потенциальную гравитационную энергию каждой пары тел в системе.

$$E=\sum_{i=1}^{N}\frac{m_iv_i^2}{2}+\sum_{\substack{j \neq i}}^{N}(-G\frac{m_im_j}{r_{ij}})$$

С точки зрения механики, моделируемая система консервативна, и по закону сохранения энергии в ней должна оставаться постоянной полная механическая энергия $E$.

Радиус тела

$$V=\frac{4}{3}{\pi}r^3$$

Так как каждое тело в моделируемой системе представлено в виде проекции шара на плоскость и обладает двумя характеристиками - массой и плотностью, формула объема шара может быть преобразована для вычисления радиуса тела: необходимо заменить объем $V$ на соотношение массы $m$ к плотности $d$ и выразить радиус $R$.

$$r=\sqrt[3]\frac{3m}{4d\pi}$$

Ссылки

1. Закон всемирного тяготения Ньютона
2. Законы Ньютона
3. Гравитационная задача N тел
4. Метод Стёрмера — Верле
5. Закон сохранения энергии
6. Интегрирование уравнений движения

Планы

• Симуляция движения тел
• Обработка столкновений тел
• Шейдеры
• Звуковое сопровождение
• Подсчет полной механической энергии системы