Предыдущий алгоритм Divide-and-conquer по запросам был неправильным, ещё и перевешенным в сторону "правой половины запросов". Я и мой друг об него споткнулись, поэтому я решил улучшить статью. Описал решение DCP через дерево отрезков понятным языком и нормальным простым рекурсивным алгоритмом

content/russian/cs/spanning-trees/dcp.md

@@ -1,12 +1,12 @@
 ---
 title: Динамическая связность
 authors:
-- Сергей Слотин
-date: 2021-09-25
+  - Сергей Слотин
+date: 2021-09-25T00:00:00.000Z
 prerequisites:
-- /cs/set-structures/dsu
-- /cs/persistent/persistent-array
-- /cs/decomposition/rollback
+  - /cs/set-structures/dsu
+  - /cs/persistent/persistent-array
+  - /cs/decomposition/rollback
 ---
 
 В контексте графов, система непересекающихся множеств напрямую решает следующую задачу:
@@ -37,17 +37,17 @@ prerequisites:
 
 ### Divide-and-conquer по запросам
 
-Давайте вместо корневой эвристики заведем рекурсивную функцию `solve(l, r)`, которая будет отвечать на все запросы с $l$ по $r$, имея СНМ, соответствующий всем ребрам, которые существуют на всем этом промежутке.
+Давайте вместо корневой эвристики заведём дерево отрезков, в вершинах которого сохраним все рёбра, существующие целиком на всём отрезке этой вершины и не существующие целиком на отрезке её предка. Таким образом каждое ребро окажется не более чем в $log(n)$ вершинах ДО.
 
-Эта функция будет действовать следующим образом:
+Рёбра, имеющие несколько отрезков жизни можно считать разными рёбрами и добавлять в ДО независимо, т. к. эти отрезки не пересекаются, а также их суммарное количество будет не более $n$.
 
-0. Если в промежутке всего один запрос, то найдем ответ на него через СНМ и выйдем. В противном случае:
-1. Разделим промежуток времени пополам: `t = (l + r / 2)`.
-2. Рекурсивно разрешим левую половину: `solve(l, t)`.
-3. Добавим в СНМ те ребра, которые существуют на всей правой половине запросов.
-4. Рекурсивно запустимся от правой половины: `solve(t, r)`.
-5. Откатим СНМ до изначального состояния.
+Чтобы найти ответ, можно пройтись по дереву отрезков такой `dfs(v)`:
 
-Так как мы всегда поддерживаем инвариант «когда мы запускаемся и выходим из рекурсии, СНМ всегда чистый для этого промежутка», алгоритм действительно ответит на все запросы и будет работать за $O(n \log^2 n)$.
+0. Добавим в СНМ рёбра из тек. вершины ДО $v$.
+1.0. Если отрезок единичной длины, ответим на все его запросы,
+1.1. Иначе запустимся в левого, а затем и в правого ребёнка.
+2. Откатим все добавленные из тек. вершины $v$ в СНМ рёбра.
+
+Несложно заметить, что асимптотика алгоритма $O(n \log^2 n)$, потому что каждое из не более $n$ рёбер мы добавим в не более чем $log(n)$ отрезком ДО, в каждый отрезок зайдём ровно по 1 разу и каждое ребро из него добавим в СНМ за $O(log(n))$.
 
 Заметим, что мы нигде не использовали ничего конкретно про связность — можно отвечать на любые запросы, поддерживаемые СНМ, например о размерах компонент или числе ребер. Также существуют модификации для других задач, например для нахождения мостов или компонент двусвязности — подробнее можно почитать в [дипломной работе](http://se.math.spbu.ru/SE/diploma/2012/s/Kopeliovich_diploma.pdf) Сергея Копелиовича.